深层网络需要一个优良的权重初始化方案，目的是降低发生梯度爆炸和梯度消失的风险。先解释下梯度爆炸和梯度消失的原因，假设我们有如下前向传播路径：

　　a₁ = w₁x + b₁　　

　　z₁ = σ(a₁)

　　a₂ = w₂z₁ + b₂

　　z₂ = σ(a₂)

　　...

　　a_n = w_nz_n-1 + b_n

　　z_n = σ(a_n)

　　简化起见，令所有的b都为0，那么可得:

　　z_n =  σ(w_nσ(W_n-1σ(...σ(w₁x)))，

　　若进一步简化，令z = σ(a) = a，那么可得：

　　z_n = w_n * W_{n-1 *} W_n-1 *...* X

　　而权重w的选择，假定都为1.5，那么可观察到 z_n是呈现指数级递增，深层网络越深，意味着后面的值越大，呈现爆炸趋势；反之，w假定都为0.5，那么可观察到 z_n是呈现指数级递减，深层网络越深，意味着后面的值越小，呈现消失趋势。

　　若令z = σ(a) = sigmoid(a)，且a= ∑_nw_ix_i + b，其中n为输入参数的个数，当输入参数很多时，猜测|a|很大概率会大于1，对于sigmoid函数而言，|a|>1，则意味着曲线越来越平滑，z值会趋近于1或0，从而也会导致梯度消失。

　　那我们在每一层网络进行初始化权重时，若能给w一个合适的值，则能降低这种梯度爆炸或梯度消失的可能性吗？我们看看该如何选择。

一、随机分布权重

　　在keras中，其函数为：K.random_uniform_variable()，我们来直观地看看其数据分布图，先看代码：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport tensorflow.keras.backend as Kw = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1))w = w.reshape(-1)print("w:", w)x = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1))x = x.reshape(-1)print("x:", x)a = np.dot(w, x)print("a:", a)n, bins, patches = plt.hist(w, 50, density=1, facecolor="g", alpha=0.75)plt.xlabel("data range")plt.ylabel("probability")plt.axis([-2, 2, 0, 1])plt.grid(True)plt.show()

　　其图像为：

　　观察图像可知，随机函数取了10000个点，值范围被约束在-1~1之间，其概率分布都很均匀。

　　其输出结果为：

w: [-0.3033681 0.95340157 0.76744485 ... 0.24013376 0.5394962 -0.23630977]x: [-0.19380212 0.86640644 0.6185038 ... -0.66250014 -0.2095201 0.23459053]a: 16.111116

　　从结果可知，若我们的输入是10000个特征点，那么a= ∑₁₀₀₀₀w_ix_i + b，从图像观察可知|a|>1的概率很大（结果为16.111116）。可想而知，不采用激活函数或relu函数，则有梯度爆炸的可能性；若采用sigmoid激活函数的话，则会导致梯度消失。

二、正太分布权重

　　在keras中，其函数为：K.random_normal_variable()和K.truncated_normal()，我们来直观地看看其数据分布图，先看K.random_normal_variable代码：　

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport tensorflow.keras.backend as Kw = K.eval(K.random_normal_variable(shape=(1, 10000), mean=0, scale=1))w = w.reshape(-1)print("w:", w)x = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1))x = x.reshape(-1)print("x:", x)a = np.dot(w, x)print("a:", a)n, bins, patches = plt.hist(w, 50, density=1, facecolor="g", alpha=0.75)plt.xlabel("data range")plt.ylabel("probability")plt.axis([-5, 5, 0, 0.6])plt.grid(True)plt.show()

　　其图像为：

　　其结果为：

w: [-1.8685548 1.501203 1.1083876 ... -0.93544585 0.08100258 0.4771947 ]x: [ 0.40333223 0.7284522 -0.40256715 ... 0.79942155 -0.915035 0.50783443]a: -46.02679

　　再看看K.truncated_normal()的代码：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport tensorflow.keras.backend as Kw = K.eval(K.truncated_normal(shape=(1, 10000), mean=0, stddev=1))w = w.reshape(-1)print("w:", w)x = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1))x = x.reshape(-1)print("x:", x)a = np.dot(w, x)print("a:", a)n, bins, patches = plt.hist(w, 50, density=1, facecolor="g", alpha=0.75)plt.xlabel("data range")plt.ylabel("probability")plt.axis([-5, 5, 0, 0.6])plt.grid(True)plt.show()

　　其图像为：

　　其结果为：

w: [ 1.0354282 -0.9385183 0.57337016 ... -0.3302136 -0.10443623 0.9371711 ]x: [-0.7896631 -0.01105547 0.778579 ... 0.7932384 -0.17074609 0.60096693]a: -18.191553

　　观察两个图像可知，两者都是正太分布图像，唯一区别在于K.truncated_normal()把大于2和小于2的数据给截断了，只保留了一部分数据。

　　从结果可知，若我们的输入是10000个特征点，那么a= ∑₁₀₀₀₀w_ix_i + b ，从图像观察可知，虽然图像具有一定的对称性，总体均值为0，但|a₁|>1依然有很大概率存在，依旧有有梯度消失和爆炸的可能性。　　　　

三、正太收窄权重

　　我们的目标是使得|a₁| < 1，这样无论激活函数是sigmoid还是relu，都可以保证每一层的输出值不会增长太大，也不会增长过小。所以我们可以在正太分布的基础上，让其收窄变尖，可以让w_i=w_i / √n，其中n为该层的输入参数的数量，以10000个输出特征点为例，w_i=w_i / √10000，这样a₁= ∑₁₀₀₀₀w_ix_i + b₁ 就可以确保大致在-1~1范围内。可看代码：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport tensorflow.keras.backend as Kw = K.eval(K.random_normal_variable(shape=(1, 10000), mean=0, scale=1/np.sqrt(10000)))w = w.reshape(-1)print("w:", w)x = K.eval(K.random_uniform_variable(shape=(1, 10000), low=-1, high=1))x = x.reshape(-1)print("x:", x)a = np.dot(w, x)print("a:", a)n, bins, patches = plt.hist(w, 50, density=1, facecolor="g", alpha=0.75)plt.xlabel("data range")plt.ylabel("probability")plt.axis([-0.1, 0.1, 0, 50])plt.grid(True)plt.show()

　　其图像为：

　　其结果为：

w: [ 0.00635913 -0.01406644 -0.00843588 ... -0.00573074 0.00345371 -0.01102492]x: [ 0.3738377 -0.01633143 0.21199775 ... -0.78332734 -0.96384525 -0.3478613 ]a: -0.4904538

　　观察图像可知，数值范围已经被压缩在-0.025~0.025附近，概率值最高也到了40以上，变得又窄又尖了。

　　从结果也可知，我们成功地把|a|压缩在1范围以内，这个结果无论对sigmoid函数，还是relu函数，都是比较友好的，降低了梯度爆炸和梯度消失的风险，也利于加快训练学习过程。